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美中不足一男子

-記英國數學家哈代

王申得

 


哈代 Godfrey H. Hardy, 1877-1947

數學神童

  英國數學家哈代(Godfrey H. Hardy)的一生充滿傳奇色彩。他生於1877年,父母是受過良好教育的知識分子,且都是數學愛好者。哈代從小就表現出非同尋常的數學才能,一般兩歲的孩童還在牙牙學語,他已經能夠數數到一百萬了!少年時代的哈代,常常輕而易舉地取得全班數學考試的第一名,有趣的是,當生性緬腆內向的哈代發現作對數學題的“代價”是到台前領獎的時候,他不得不以故意作錯題目的方式來逃避這種榮譽。


哈代與李特爾伍德

數學夥伴

  哈代在劍橋大學開始他的數學生涯,年僅三十三歲就被選為英國皇家協會會員,被當代人譽爲“真正的數學家”,“一個最純粹的純粹數學家。”不過,哈代最為人稱道的,是他和另一位英國傑出的數學家李特爾伍德(John Edensor Littlewood, 1885-1977)的研究合作。從兩人的性格上來説,哈代與李特爾伍德可謂是南轅北徹:李特爾伍德生性開朗,富有想像力,為人不拘小節和具有幽默感,而哈代則是一副典型英國紳士的派頭,思維邏輯嚴謹慎密,滴水不漏。開始合作的時候,沒有人會想像得出這兩位當代傑出的數學家可能在一起研究共事。然而事實上是,他倆從1911年起開始合作研究數學問題,持續了整整三十五年之久,兩人在一起共發表了一百多篇論文!他們不但影響了英國甚至全球的純數學研究領域,並且創造了數學史上的一段合作佳話。

數學伯樂

  哈代不僅具有卓絕超倫的數學才能,還有一種過人的“伯樂”眼光。他對印度數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan, 1887-1920)的發現和培養,堪稱數學史上的一段奇聞,用哈代自己的話來説,發現拉馬努金是他“一生中最浪漫的事”。

  1913年的一個早晨,哈代一面準備用餐,一面像往常一樣拆看郵差送來的信件。此時的哈代雖然剛剛二十六歲出頭,就已經被選為舉世聞名的英國皇家協會會員(Fellows of the Royal Society),聲望如日中天,家中郵箱裏每一天都堆滿了世界各地慕名者寄來的信件。這些信件中不乏請求哈代對他們發現的某種定理或證明進行鑑定,或告訴哈代一些稀奇古怪,自以為是的發明和發現等等,哈代對此早已習以爲常。但在那一個平常的早晨,一件不平常的事件悄悄地發生了。

  在一大堆信件中,哈代隨手揀起一封看上去皺巴巴的信,上面蓋着印度郵戳,一望而知此信經過了千山萬水的長途跋涉,歷經艱苦才到達主人手上。拆開一看,原來裏面夾着九大張發黃的紙頭,上面劃滿了一行又一行的數學符號,看上去像是某種數學定理的證明,其中有些是早已被證明過的定理;另一些好像從未聽説過,但又未給出任何實質性的證明。在第二頁紙上,一位素昧平生的印度人用蹩腳的英文請求哈代對這些數學“發現”提出評審意見。

  那些數學符號寫得又潦草又雜亂,哈代看了不久開始感到厭煩,甚至有點生氣地把信扔到一邊,不去理會它了。吃過早餐後,哈代像往常一樣,走進書房開始一天的工作。然而不知道為甚麽,那天的工作進行得很不順利,於是他站起來在房間裏來回踱步,希望能夠使自己的精力集中起來,然而無濟於事。最後哈代索性放棄一切努力,離開房間去看板球比賽。

  在所有競技比賽中,哈代對板球(Cricket)情有獨鍾,是劍橋大學最有名,最忠實的板球迷。同時代的一位數學家,也是哈代的朋友曾經揶揄他說。“如果你能每天花上半小時,像研究板球比賽結果那樣研究股票市場的行情,早就成爲百萬富翁了!”那天的比賽,哈代全心投入,看得興致勃勃,然而在他心裏總像是被甚麽東西纏繞着,眼前揮之不去的是那個印度人九大張發黃而凌亂的數學草稿。“那看上去像是一些奇妙的東西啊”,哈代對自己說,“也許這是個未經發現的天才呢!”這樣的想法使哈代坐立不安,他回到書房,重新審看了一遍拉馬努金寄來的信,最後決定請他的老朋友李特爾伍德前來幫忙。當天晚上九時,李特爾伍德遵照約定來到哈代的書房,歷史性的時刻發生了:在午夜來臨之前,當代兩位頂尖數學家不約而同地認定,寫出眼前這些草稿的人乃是一位數學界的曠古奇才!


印度數學家拉馬努金

  拉馬努金就這樣被幸運地發現了。其實,在遇到“伯樂”之前,拉馬努金曾經把同樣的草稿寄給另外兩位英國著名的數學家,但都被一字不改地退了回來(拉馬努金成名之後,不知道這兩位數學家有何感想)。發現拉馬努金的數學天才後,哈代一刻也沒有耽擱,第二天就寫信邀請他到英國訪問。拉馬努金原是印度南方一個鄉村的普通職員,和妻子相依為命,生活一貧如洗。他的母親極崇拜當地的女神納瑪卡(Namagiri Thayar),出於宗教的原因本來不同意兒子遠赴重洋到英國去,然而戲劇性地,據説他母親一天清早突然宣佈同意兒子去英國,因為前一天晚上在夢中,她夢見兒子坐在一群白皮膚的歐洲人當中,納瑪卡向她顯現,嚴厲地警告她不得阻礙拉馬努金的前程。不管這個傳説是否可靠,拉馬努金終於在1914年抵達英國,開始在哈代手下接受嚴格的數學訓練。

  在拉馬努金身上,哈代展現出一個優秀數學家的寬廣胸懷。在遇到哈代之前,拉馬努金只受過非常簡單的教育,年輕時曾因爲蹩腳的英文而被拒之於大學門外。他的頭腦完全沒有經過任何數學訓練,實際上,連甚麽叫“證明”都不知道,哈代不得不親自手把手從頭教起。天才遇上良師,終於結出果實,從1914年到1918年這五年時間裏,他們聯名發表了五篇高質量的論文。大不列顛(Great Britain)慷慨地給予這位印度人至高無上的榮譽:皇家協會(Royal Society)和劍橋大學三一學院(Trinity College, Cambridge)均接受他作為終身會員,他是歷史上第一位同時接受這兩種榮譽的印度人。

  可惜的是,拉馬努金英年早逝,三十三歲時染上肺結核死於印度的家鄉。在一個數學家的辯白A Mathematician’s Apology)一書裏,哈代滿懷深情地回憶起他的這位得意門生,把他與歷史上最偉大的天才數學家們相提並論。他說:

“伽羅瓦死於二十一歲,亞伯死於二十七歲,拉馬努金死於三十三歲,黎曼死於四十歲。我不知道歷史上有哪位頂尖數學家在五十歲以後還能做出重大貢獻的。”
“Galois died at twenty-one, Abel at twenty-seven, Ramanujan at thirty-three, Riemann at forty. There have been men who have done great work a good deal later…I do not know an instance of a major mathematical advance initiated by a man past fifty.”

  哈代為拉馬努金的命運悲哀是可以理解的。在另外一個場合,哈代曾經不無傷感地歎氣道,“就數學天分來説,拉馬努金可以和德國的高斯(Gauss),瑞士的歐拉(Euler)相媲美,但因為受教育太晚的緣故,拉馬努金難以取得與他天分相稱的成就。”

數學之美

  哈代另一個為世人津津樂道的話題是他的自傳體作品一個數學家的辯白。嚴格來說,這並不是自傳,而是一位具有深邃洞察力的數學家表達他對數學這門科學的認識和理解。二十世紀的上半葉是一個動盪不安的年代,人類在政治,哲學,科學各個領域經歷着從未有過的變化,當時人們最常談論的話題是愛因斯坦(Albert Einstein)的最新發現—相對論等等,數學似乎漸漸被人們遺忘了。哈代獨具慧眼,斷言阿基米德(Archimedes, c.287BC-c.212BC)所代表的數學是永垂不朽的,而這種不朽性來自於數學本身的美,以及在證明數學定理的過程中所展現的嚴謹和規範。在哈代的眼中,數學家發現的數學模型必須是美的,他的一句名言就是:“醜陋的數學家在數學領域裏是沒有地位的。”數學的美依賴於它的證明過程的嚴謹性,哈代給出兩個經典例子:一個是阿基米德關於無窮質數的證明,另一個是畢達哥拉斯(Pythagoras, c.570BC-c.495BC)關於無理數的證明。

  哈代崇尚數學之美,自己長得也是一表人才,在劍橋享有“美男子”的名聲,卻一生未遇紅顏知己。和其他天才一樣,哈代也有許多令人難以理喻的怪癖,比如,他本人雖然相貌堂堂,卻不敢直視自己,在他的房間裏絕對不能有穿衣鏡或任何其他鏡子的擺設,甚至連刮鬍子鏡都沒有。當他出外旅行的時候,進到房間裏所做的第一件事,就是用毛巾把所有的鏡子統統遮蓋起來!哈代也不能忍受別人給他拍照,據説哈代一生只留下五張留影。還有,哈代非常厭惡手錶和電話,非到極緊急的情況絕不使用電話,有一次他有急事想見到某人,操起電話來說,“我不希望聽見你講話的聲音,所以我決定把聽筒放下,請你在九至十時之間到我這裏來!”然後,“砰!”的一聲放下電話,揚長而去!

數學有限

  令人遺憾無比的是,像哈代這樣一位對宇宙秩序推崇備至,一生對數學之美孜孜以求的數學大師,竟然對造物的主宰視而不見,置若罔聞!他於二十二歲風華正茂之時,做了一個重大抉擇,不再相信有神,公開成為一個“著名的”無神論者。他在中年時,曾許下一個新年心願,要證明神的不存在,並且多次口沒遮攔地聲稱神是他的私敵。然而哈代一生冷漠孤獨,從不和別人分享內心世界,死時除了忠心的妹妹以外再沒有其他親近的朋友。

  哈代晚境頗為淒涼,常常陷入深深的孤獨中,不能自拔。所幸的是,哈代的妹妹一生未嫁,甘心陪伴並照料這位大名鼎鼎的哥哥。1947年,哈代試圖自殺,被人發現後及時送入醫院搶救,在妹妹讀劍橋大學板球史的聲音中靜靜地離開了世界,享年七十歲。

  縱觀哈代一生,少年早慧早熟,中年發現數學奇才拉馬努金,自己亦沉醉於純粹數學的至美境界,晚年孤苦淒涼。儘管聰明絕頂,才華冠世,心中的眼睛卻未被打開,看見上帝的榮美,認識基督耶穌的救贖大工(以弗所書1:18;詩篇27:4,90:17)。誠如傳道者所說:

“虛虛而來,暗暗而去,名字被黑暗遮蔽。”(傳道書6:4)

可見人的智慧何其有限啊!

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2019.11

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